4. Схема построения стохастических моделей
Построение стохастической модели включает разработку, оценку качества и исследование поведения системы с помощью уравнений, описывающих изучаемый процесс. Для этого путем проведения специального эксперимента с реальной системой добывается исходная информация. При этом используются методы планирования эксперимента, обработки результатов, а также критерии оценки полученных моделей, базирующиеся на таких разделах математической статистики как дисперсионный, корреляционный, регрессионный анализ и др.
Этапы разработки стохастической модели:
постановка задачи
выбор факторов и параметров
выбор вида модели
планирование эксперимента
реализация эксперимента по плану
построение статистической модели
проверка адекватности модели (связана с 8, 9, 2, 3, 4)
корректировка модели
исследование процесса с помощью модели (связано с 11)
определение параметров оптимизации и ограничений
оптимизация процесса с помощью модели (связана с 10 и 13)
экспериментальная информация средств автоматики
управление процессом с помощью модели (связано с 12)
Объединение этапов с 1 по 9 дает нам информационную модель, с первого по одиннадцатый – оптимизационная модель, объединение всех пунктов – модель управления.
5. Инструментальные средства обработки моделей
С помощью CAE-систем можно производить следующие процедуры обработки моделей:
наложение сетки конечных элементов на 3-х мерную модель,
задачи теплонапряженного состояния; задачи гидрогазодинамики;
задачи тепломассообмена;
контактные задачи;
кинематические и динамические расчеты и др.
имитационное моделирование сложных производственных систем на основе моделей массового обслуживания и сетей Петри
Обычно CAE-модули дают возможность цветного и полутонового изображения, наложения исходной и деформированной детали, визуализации потоков жидкости и газа.
Примеры систем моделирования полей физических величин в соответствии с МКЭ: Nastrаn, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.
Примеры систем моделирования динамических процессов на макроуровне: Adams и Dyna - в механических системах, Spice - в электронных схемах, ПА9 - для многоаспектного моделирования, т.е. для моделирования систем, принципы действия которых основаны на взаимовлиянии физических процессов различной природы.
6. Математическое моделирование. Аналитические и имитационные модели
Математическая модель - совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств и др.) и отношений между ними, которая адекватно отображает некоторые (существенные) свойства проектируемого технического объекта. Математические модели могут быть геометрическими, топологическими, динамическими, логическими и др.
- адекватность представления моделируемых объектов;
Область адекватности - область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых приделах.
- экономичность (вычислительная
эффективность)
-
определяется затратами ресурсов,
требуемых
для реализации модели (затраты машинного
времени, используемая память и др.);
- точность - определяет степень совпадения расчетных и истинных результатов (степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели).
Математическое моделирование - процесс построения математических моделей. Включает следующие этапы: постановка задачи; построение модели и ее анализ; разработка методов получения проектных решений на модели; экспериментальная проверка и корректировка модели и методов.
Качество создаваемых математических моделей во многом зависит от правильной постановки задачи. Необходимо определить технико-экономические цели решаемой задачи, провести сбор и анализ всей исходной информации, определить технические ограничения. В процессе построения моделей следует использовать методы системного анализа.
Процесс моделирования, как правило, носит итерационный характер, который предусматривает на каждом шаге итераций уточнение предыдущих решений, принятых на предшествующих этапах разработки моделей.
Аналитические модели - численные математические модели, которые можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. Имитационные модели - численные алгоритмические модели, отображающие процессы в системе при наличии внешних воздействий на систему. Алгоритмические модели - модели, в которых связь выходных, внутренних и внешних параметров задана неявно в виде алгоритма моделирования. Имитационные модели используют часто на системном уровне проектирования. Имитационное моделирование производят путем воспроизведения событий, происходящих одновременно или последовательно в модельном времени. Примером имитационной модели может считаться использование сети Петри для моделирования системы массового обслуживания.
7. Основные принципы построения математических моделей
Классический (индуктивный) подход. Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдельные подсистемы, т.е. выбираются исходные данные для моделирования и ставятся цели, отображающие отдельные стороны процесса моделирования. По отдельной совокупности исходных данных ставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некоторая компонента будущей модели. Совокупность компонент объединяется в модель.
Такой классический подход может быть использован при создании достаточно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реального объекта. Реализует движение от частного к общему.
Системный подход. На основе исходных данных, которые известны из анализа внешней системы, тех ограничений, которые накладываются на систему сверху либо исходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования к модели системы. На базе этих требований формируются ориентировочно некоторые подсистемы, элементы и осуществляется наиболее сложный этап синтеза – выбор составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора. Системный подход предполагает и некоторую последовательность разработки моделей, заключающуюся в выделении двух основных стадий проектирования: макропроектирование и микропроектирование.
Стадия макропроектирования – на основе данных о реальной системе и внешней среде строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения модели системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели реальной системы. Построив модель системы и модель внешней среды, на основе критерия эффективности функционирования системы в процессе моделирования выбирают оптимальную стратегию управления, что позволяет реализовать возможность модели по воспроизведению отдельных сторон функционирования реальной системы.
Стадия
микропроектирования
в
значительной степени зависит от
конкретного типа выбранной модели. В
случае имитационной модели необходимо
обеспечить создание информационного,
математического, технического и
программного обеспечения системы
моделирования. На этой стадии можно
установить основные характеристики
созданной модели, оценить время работы
с ней и затраты ресурсов для получения
заданного качества соответствия модели
процессу функционирования системы
.Независимо
от типа используемой модели
при ее построении необходимо
руководствоваться рядом принципов
системного подхода:
пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям создания модели;
согласование информационных, ресурсных, надежностных и других характеристик;
правильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моделирования;
целостность отдельных обособленных стадий построения модели.
Анализ применяемых методов при математическом моделировании
При математическом моделировании решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных - их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки.
Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Обычно выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т.е. используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является система обыкновенных дифференциальных уравнений, которые затем при использовании краевых условий приводятся к системе алгебраических уравнений.
Пусть необходимо решить уравнениеLV (z ) = f (z )
с заданными краевыми условиямиMV (z ) = .(z ),
где L и M - дифференциальные операторы, V (z ) - фазовая переменная, z = (x 1, x 2, x 3, t ) - вектор независимых переменных, f (z ) и ψ.(z ) - заданные функции независимых переменных.
В МКР алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями. При использовании метода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке.
МКЭ основан на аппроксимации не производных, а самого решения V (z ). Но поскольку оно неизвестно, то аппроксимация выполняется выражениями с неопределенными коэффициентами.
При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных элементов, а с учетом их малых размеров можно говорить об использовании сравнительно простых аппроксимирующих выражений (например, - полиномы низких степеней). В результате подстановки таких полиномов в исходное дифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования получают значения фазовых переменных в заданных точках.
Полиномиальная аппроксимация. Использование методов связано с возможностью аппроксимации гладкой функции полиномом и последующего использования аппроксимирующего полинома для оценивания координаты точки оптимума. Необходимыми условиями эффективной реализации такого подхода являются унимодальность и непрерывность исследуемой функции. Согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации, если функция непрерывна в некотором интервале, то ее с любой степенью точности можно аппроксимировать полиномом достаточно высокого порядка. Согласно теореме Вейерштрасса, качество оценок координаты точки оптимума, получаемых с помощью аппроксимирующего полинома, можно повысить двумя способами: использованием полинома более высокого порядка и уменьшением интервала аппроксимации. Простейшим вариантом полиномиальной интерполяции является квадратичная аппроксимация, которая основана на том факте, что функция, принимающая минимальное значение во внутренней точке интервала, должна быть по крайней мере квадратичной
Дисциплина «Модели и методы анализа проектных решений» (Казаков Ю.М.)
Классификация математических моделей.
Уровни абстракции математических моделей.
Требования к математическим моделям.
Схема построения стохастических моделей.
Инструментальные средства обработки моделей.
Математическое моделирование. Аналитические и имитационные модели.
Основные принципы построения математических моделей.
Анализ применяемых методов при математическом моделировании.
1. Классификация математических моделей
Математическая модель (ММ) технического объекта есть совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т. п.) и отношений между ними, которая адекватно отображает свойства технического объекта, интересующие инженера, разрабатывающего этот объект.
По характеру отображения свойств объекта:
Функциональные – предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в технических системах при их функционировании. Типичная функциональная модель представляет собой систему уравнений, описывающих либо электрические, тепловые, механические процессы, либо процессы преобразования информации.
Структурные – отображают структурные свойства объекта (топологические, геометрические). . Структурные модели чаще всего представляются в виде графов.
По принадлежности к иерархическому уровню:
Модели микроуровня – отображение физических процессов в непрерывном пространстве и времени. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных.
Модели макроуровня. Используются укрупнение, детализация пространства по фундаментальному признаку. Функциональные модели на макроуровне представляют собой системы алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений, для их получения и решения используют соответствующие численные методы.
Модели метоуровня. Укрупнено описывают рассматриваемые объекты. Математические модели на метауровне - системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы логических уравнений, имитационные модели систем массового обслуживания.
По способу получения модели:
Теоретические – строятся на основании изучения закономерности. В отличии от эмпирических моделей, теоретические в большинстве случаев являются более универсальными и применимыми для более широкого диапазона задач. Теоретические модели бывают линейными и нелинейными, непрерывными и дискретными, динамическими и статистическими.
Эмпирические
Главные требования к математическим моделям в САПР:
адекватность представления моделируемых объектов;
Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью и оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности. Область адекватности – область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых приделах.
экономичность (вычислительная эффективность) – определяется затратами ресурсов, требуемых для реализации модели (затраты машинного времени, используемая память и др.);
точность – определяет степень совпадения расчетных и истинных результатов (степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели).
К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований:
Вычислимость , т.е. возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).
Модульность , т.е. соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).
Алгоритмизируемость , т.е. возможность разработки соответствующего алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.
Наглядность , т.е. удобное визуальное восприятие модели.
Таблица. Классификация математических моделей
|
Признаки классификации |
Виды математических моделей |
|
1. Принадлежность к иерархическому уровню |
Модели микроуровня Модели макроуровня Модели метауровня |
|
2. Характер отображаемых свойств объекта |
Структурные Функциональные |
|
3. Способ представления свойств объекта |
Аналитические Алгоритмические Имитационные |
|
4. Способ получения модели |
Теоретические Эмпирические |
|
5. Особенности поведения объекта |
Детерминированные Вероятностные |
Математические модели на микроуровне производственного процесса отражают физические процессы, протекающие, например, при резании металлов. Они описывают процессы на уровне перехода.
Математические модели на макроуровне производственного процесса описывают технологические процессы.
Математические модели на метауровне производственного процесса описывают технологические системы (участки, цехи, предприятие в целом).
Структурные математические модели предназначены для отображения структурных свойств объектов. Например, в САПР ТП для представления структуры технологического процесса, расцеховки изделий используется структурно – логические модели.
Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.
Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне.
Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.
Детерминированные математические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т.д.
Вероятностные математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т.е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий.
Аналитические модели - численные математические модели, которые можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних.
Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.
Имитационные математические модели – это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс (объект). Например, это модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.
Построение стохастической модели включает разработку, оценку качества и исследование поведения системы с помощью уравнений, описывающих изучаемый процесс.
Для этого путем проведения специального эксперимента с реальной системой добывается исходная информация. При этом используются методы планирования эксперимента, обработки результатов, а также критерии оценки полученных моделей, базирующиеся на таких разделах математической статистики как дисперсионный, корреляционный, регрессионный анализ и др.
В основе методов построения статистической модели, описывающей технологический процесс (рис.6.1) лежит концепция «черного ящика». Для него возможны многократные измерения входных факторов: x 1 ,x 2 ,…,x k и выходных параметров: y 1 ,y 2 ,…,y p , по результатам которых устанавливают зависимости:
При статистическом моделировании вслед за постановкой задачи (1) производится отсеивание наименее важных факторов из большого числа входных переменных, влияющих на ход процесса (2). Выбранные для дальнейшего исследования входные переменные составляют список факторов x 1 ,x 2 ,…,x k
в (6.1), управляя которыми можно регулировать выходные параметры y n
. Количество выходных параметров модели также следует по возможности уменьшить, чтобы сократить затраты на эксперименты и обработку данных.
При разработке статистической модели обычно ее структура (3) задается произвольно, в виде удобных для использования функций, аппроксимирующих опытные данные, а затем уточняется на основе оценки адекватности модели.
Наиболее часто используется полиномиальная форма модели. Так, для квадратичной функции:
(6.2)
где b 0 , b i , b ij , b ii – коэффициенты регрессии.
Обычно сначала ограничиваются наиболее простой линейной моделью, для которой в (6.2) b ii =0, b ij =0 . В случае ее неадекватности усложняют модель введением членов, учитывающих взаимодействие факторов x i ,x j и (или) квадратичных членов .
С целью максимального извлечения информации из проводимых экспериментов и уменьшения их числа проводится планирование экспериментов (4) т.е. выбор количества и условий проведения опытов необходимых и достаточных для решения с заданной точностью поставленной задачи.
Для построения статистических моделей применяют два вида экспериментов: пассивный и активный. Пассивный эксперимент проводится в форме длительного наблюдения за ходом неуправляемого процесса, что позволяет собрать обширный ряд данных для статистического анализа. В активном эксперименте имеется возможность регулирования условий проведения опытов. При его проведении наиболее эффективно одновременное варьирование величины всех факторов по определенному плану, что позволяет выявить взаимодействие факторов и сократить число опытов.
На основе результатов проведенных экспериментов (5) вычисляют коэффициенты регрессии (6.2) и оценивают их статистическую значимость, чем завершается построение модели (6). Мерой адекватности модели (7) является дисперсия, т.е. среднеквадратичное отклонение вычисляемых значений от экспериментальных. Полученная дисперсия сопоставляется с допустимой при достигнутой точности экспериментов.
В последних главах настоящей книги стохастические процессы почти всегда представляются с использованием линейных дифференциальных систем, возбуждаемых белым шумом. Это представление стохастического процесса обычно имеет следующую форму. Предположим, что
а - белый шум. Выбирая такое представление стохастического процесса V, его можно моделировать. Использоваййе таких моделей может быть обосновано следующим образом.
а) В природе часто встречаются стохастические явления, связанные с воздействием быстро меняющихся флуктуаций на инерционную дифференциальную систему. Типичным примером белого шума, действующего на дифференциальную систему, является тепловой шум в электронной цепи.
б) Как будет видно из дальнейшего, в линейной теории управления почти всегда рассматриваются только среднее значение и. ковариация Стохастического процесса. Для линейной модели ксегда можно аппроксимировать любые полученные экспериментально характеристики среднего значения и ковариационной матрицы с произвольной точностью.
в) Иногда возникает задача моделирования стационарного стохастического процесса с известной спектральной плотностью энергии. В этом случае всегда имеется возможность генерировать стохастический процесс как процесс на выходе линейной дифференциальной системы; при этом матрица спектральных плотностей анергии аппроксимирует с произвольной точностью матрицу спектральных плотностей энергии исходного стохастического процесса.
Примеры 1.36 и 1.37, так же как и задача 1.11, иллюстрируют метод моделирования.
Пример 1.36. Дифференциальная система первого порядка
Предположим, что измеренная ковариационная функция стохастического скалярного процесса о котором известно, что он является стационарным, описывается экспоненциальной функцией
Этот процесс можно моделировать при как состояние дифференциальной системы первого порядка (см. пример 1.35)
где - белый шум интейсивности - стохастическая величина с нулевым средним и дисперсией .
Пример 1.37. Смесительный бак
Рассмотрим смесительный бак из примера 1.31 (разд. 1.10.3) и вычислим для него матрицу дисперсий выходной переменной примере 1.31 предполагалось, что флуктуации концентраций в потоках описываются экспоненциально коррелированными шумами и, таким образом, могут быть смоделированы как решение системы первого порядка, возбуждаемой белым шумом. Добавим теперь к дифференциальному уравнению смесительного бака уравнения моделей стохастических процессов Получим
Здесь - скалярный белый шум интенсивности чтобы
получить дисперсию процесса равной примем Для процесса используем аналогичную модель. Таким образом, получим систему уравнений
Стохастическая модель описывает ситуацию, когда присутствует неопределенность. Другими словами, процесс характеризуется некоторой степенью случайности. Само прилагательное «стохастический» происходит от греческого слова «угадывать». Поскольку неопределенность является ключевой характеристикой повседневной жизни, то такая модель может описывать все что угодно.
Однако каждый раз, когда мы ее применяем, будет получаться разный результат. Поэтому чаще используются детерминированные модели. Хотя они и не являются максимально приближенными к реальному положению вещей, однако всегда дают одинаковый результат и позволяют облегчить понимание ситуации, упрощают ее, вводя комплекс математических уравнений.
Основные признаки
Стохастическая модель всегда включает одну или несколько случайных величин. Она стремится отразить реальную жизнь во всех ее проявлениях. В отличие от стохастическая не имеет цели все упростить и свести к известным величинам. Поэтому неопределенность является ее ключевой характеристикой. Стохастические модели подходят для описания чего угодно, но все они имеют следующие общие признаки:
- Любая стохастическая модель отражает все аспекты проблемы, для изучения которой создана.
- Исход каждого из явлений является неопределенным. Поэтому модель включает вероятности. От точности их расчета зависит правильность общих результатов.
- Эти вероятности можно использовать для прогнозирования или описания самих процессов.
Детерминированные и стохастические модели
Для некоторых жизнь представляется чередой для других - процессов, в которых причина обуславливает следствие. На самом же деле для нее характерна неопределенность, но не всегда и не во всем. Поэтому иногда трудно найти четкие различия между стохастическими и детерминированными моделями. Вероятности являются достаточно субъективным показателем.
Например, рассмотрим ситуацию с подбрасыванием монетки. На первый взгляд кажется, что вероятность того, что выпадет «решка», составляет 50%. Поэтому нужно использовать детерминированную модель. Однако на деле оказывается, что многое зависит от ловкости рук игроков и совершенства балансировки монетки. Это означает, что нужно использовать стохастическую модель. Всегда есть параметры, которые мы не знаем. В реальной жизни причина всегда обуславливает следствие, но существует и некоторая степень неопределенности. Выбор между использованием детерминированной и стохастической моделей зависит от того, чем мы готовы поступиться - простотой анализа или реалистичностью.
В теории хаоса
В последнее время понятие о том, какая модель называется стохастической, стало еще более размытым. Это связано с развитием так называемой теории хаоса. Она описывает детерминированные модели, которые могут давать разные результаты при незначительном изменении исходных параметров. Это похоже на введение в расчет неопределенности. Многие ученые даже допустили, что это уже и есть стохастическая модель.
Лотар Брейер изящно объяснил все с помощью поэтических образов. Он писал: «Горный ручеек, бьющееся сердце, эпидемия оспы, столб восходящего дыма - все это является примером динамического феномена, который, как кажется, иногда характеризуется случайностью. В реальности же такие процессы всегда подчинены определенному порядку, который ученые и инженеры еще только начинают понимать. Это так называемый детерминированный хаос». Новая теория звучит очень правдоподобно, поэтому многие современные ученые являются ее сторонниками. Однако она все еще остается мало разработанной, и ее достаточно сложно применить в статистических расчетах. Поэтому зачастую используются стохастические или детерминированные модели.
Построение
Стохастическая начинается с выбора пространства элементарных исходов. Так в статистике называют перечень возможных результатов изучаемого процесса или события. Затем исследователь определяет вероятность каждого из элементарных исходов. Обычно это делается на основе определенной методики.
Однако вероятности все равно являются достаточно субъективным параметром. Затем исследователь определяет, какие события представляются наиболее интересными для решения проблемы. После этого он просто определяет их вероятность.
Пример
Рассмотрим процесс построения самой простой стохастической модели. Предположим, мы кидаем кубик. Если выпадет «шесть» или «один», то наш выигрыш составит десять долларов. Процесс построения стохастической модели в этом случае будет выглядеть следующим образом:
- Определим пространство элементарных исходов. У кубика шесть граней, поэтому могут выпасть «один», «два», «три», «четыре», «пять» и «шесть».
- Вероятность каждого из исходов будет равна 1/6, сколько бы мы ни подбрасывали кубик.
- Теперь нужно определить интересующие нас исходы. Это выпадение грани с цифрой «шесть» или «один».
- Наконец, мы может определить вероятность интересующего нас события. Она составляет 1/3. Мы суммируем вероятности обоих интересующих нас элементарных событий: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Концепция и результат
Стохастическое моделирование часто используется в азартных играх. Но незаменимо оно и в экономическом прогнозировании, так как позволяют глубже, чем детерминированные, понять ситуацию. Стохастические модели в экономике часто используются при принятии инвестиционных решений. Они позволяют сделать предположения о рентабельности вложений в определенные активы или их группы.
Моделирование делает финансовое планирование более эффективным. С его помощью инвесторы и трейдеры оптимизируют распределение своих активов. Использование стохастического моделирования всегда имеет преимущества в долгосрочной перспективе. В некоторых отраслях отказ или неумение его применять может даже привести к банкротству предприятия. Это связано с тем, что в реальной жизни новые важные параметры появляются ежедневно, и если их не может иметь катастрофические последствия.
Серия «Экономика и управление»
6. Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. - М.: Экономика, 2002. 768 с.
7. Кузык Б.Н., Кушлин В.И., Яковец Ю.В. Прогнозирование, стратегическое планирование и национальное программирование. М.: Изд-во «Экономика», 2008. 573 с.
8. Лясников Н.В., Дудин М.Н. Модернизация инновационной экономики в контексте формирования и развития венчурного рынка // Общественные науки. М.: Издательство «МИИ Наука», 2011. № 1. С. 278-285.
9. Секерин В.Д., Кузнецова О.С. Разработка стратегии управления инновационным проектом // Вестник Московской государственной академии делового администрирования. Серия: Экономика. - 2013. № 1 (20). - С. 129 - 134.
10. Яковлев В.М., Сенин А.С. Инновационному типу развития российской экономики нет альтернативы // Актуальные вопросы инновационной экономики. М.: Издательский Дом «Наука»; Институт менеджмента и маркетинга РАХН и ГС при Президенте РФ, 2012. № 1(1).
11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Using environmental approach to innovation-oriented development of industrial enterprises // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Vol. 11, No.2, - P. 189-194.
12. Dudin M.N. A systematic approach to determining the modes of interaction of large and small businesses // European Journal of Economic Studies. 2012. Vol. (2), № 2, P. 84-87.
13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Innovative Transformation and Transformational Potential of Socio-Economic Systems // Middle East Journal of Scientific Research, 2013. Vol. 17, № 10. P. 1434-1437.
14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. Innovative foresight as the method for management of strategic sustainable development of the business structures // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Vol. 26, № 8. - P. 1086-1089.
15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V. G. B2G Market: The Essence and Statistical Analysis // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014
Построение однопараметрической, стохастической модели производственного процесса
к.э.н. доц. Мордасов Ю.П.
Университет машиностроения, 8-916-853-13-32, [email protected] ги
Аннотация. Автором разработана математическая, стохастическая модель выполнения производственного процесса, зависящая от одного параметра. Проведена апробация модели. Для этого создана имитационная модель производственного, машиностроительного процесса с учетом влияния случайных возмущений-сбоев. Сравнение результатов математического и имитационного моделирования подтверждает целесообразность применения математической модели на практике.
Ключевые слова: технологический процесс, математическая, имитационная модель, оперативное управление, апробация, случайные возмущения.
Затраты на оперативное управление можно значительно сократить, разработав методику, позволяющую найти оптимум между затратами на оперативное планирование и потерями, которые получаются в результате рассогласования плановых показателей с показателями реальных производственных процессов. Это значит, найти оптимальную длительность прохождения сигнала в цепи обратной связи. Практически это означает сокращение количества расчётов календарных графиков запуска в производство сборочных единиц и за счёт этого экономию материальных ресурсов.
Ход производственного процесса в машиностроении носит вероятностный характер. Постоянное влияние непрерывно меняющихся факторов не даёт возможности предсказать на некоторую перспективу (месяц, квартал) ход производственного процесса в пространстве и времени. В статистических моделях календарного планирования состояние детали в каждый определённый момент времени должно задаваться в виде соответствующей вероятности (распределения вероятностей) нахождения её на различных рабочих местах. Вместе с тем необходимо обеспечить детерминированность конечного результата деятельности предприятия. Это, в свою очередь, предполагает возможность при помощи детерминированных методов планировать определённые сроки нахождения деталей в производстве. Однако опыт показывает, что различные взаимосвязи и взаимопереходы реальных производственных процессов многообразны и многочисленны. При разработке детерминированных моделей это создаёт значительные трудности.
Попытка учесть все факторы, влияющие на ход производства, делает модель громоздкой, и она перестаёт выполнять функции инструмента планирования, учёта и регулирования.
Более простым методом построения математических моделей сложных реальных процессов, зависящих от большого количества различных факторов, учесть которые трудно или даже невозможно, является построение стохастических моделей. В этом случае при анализе принципов функционирования реальной системы или при наблюдении её отдельных характеристик для некоторых параметров строят функции распределения вероятностей. При наличии высокой статистической устойчивости количественных характеристик процесса и их малой дисперсии результаты, получаемые с помощью построенной модели, хорошо согласуются с показателями функционирования реальной системы.
Основными предпосылками построения статистических моделей экономических процессов являются:
Чрезмерная сложность и связанная с ней экономическая неэффективность соответствующей детермированной модели;
Большие отклонения теоретических показателей, получаемых в результате эксперимента на модели, от показателей реально функционирующих объектов.
Поэтому желательно иметь простой математический аппарат, описывающий влияние стохастических возмущений на глобальные характеристики производственного процесса (товарный выпуск продукции, объём незавершённого производства и т.д.). То есть построить математическую модель производственного процесса, зависящую от небольшого числа параметров и отражающую суммарное влияние множества факторов, имеющих различную природу, на ход производственного процесса. Главная задача, которую должен ставить перед собой исследователь при построении модели, не пассивное наблюдение за параметрами реальной системы, а построение такой модели, которая при любом отклонении под влиянием возмущений выводила бы параметры отображаемых процессов на заданный режим. То есть при действии любого случайного фактора в системе должен устанавливаться процесс, сходящий к плановому решению. В настоящее время в автоматизированных системах управления эта функция в основном возложена на человека, который составляет одно из звеньев цепи обратной связи в управлении производственными процессами.
Обратимся к анализу реального производственного процесса. Обычно длительность планового периода (периодичность выдачи планов цехам) выбирается, исходя из традиционно сложившихся календарных интервалов времени: смена, сутки, пятидневка и т.п. Руководствуются при этом в основном практическими соображениями. Минимальная длительность планового периода определяется оперативными возможностями планируемых органов. Если производственно-диспетчерский отдел предприятия справляется с выдачей скорректированных сменных заданий цехам, то расчёт производится на каждую смену (то есть ежесменно производятся затраты, связанные с расчётом и анализом плановых заданий).
Для определения числовых характеристик распределения вероятностей случайных воз-
Серия «Экономика и управление» мущений построим вероятностную модель реального технологического процесса изготовления одной сборочной единицы. Под технологическим процессом изготовления сборочной единицы здесь и в дальнейшем подразумевается последовательность операций (работ по изготовлению данных детали или узла), документально закреплённая в технологии. Каждая технологическая операция изготовления продукции в соответствии с технологическим маршрутом может быть выполнена только после предшествующей. Следовательно, технологический процесс изготовления сборочной единицы является последовательностью событий-операций. Под влиянием различных стохастических причин длительность выполнения отдельной операции может изменяться. В отдельных случаях операция может не выполниться в течение действия данного сменного задания. Очевидно, что эти события можно разложить на элементарные составляющие: выполнения и невыполнения отдельных операций, которым также можно поставить в соответствие вероятности выполнения и невыполнения.
Для конкретного технологического процесса вероятность выполнения последовательности, состоящей из К операций, можно выразить следующей формулой:
РС5 = к) = (1-рк+1)ПГ=1Р1 , (1)
где: Р1 - вероятность выполнения 1-ой операции, взятой отдельно; г - номер операции по порядку в технологическом процессе.
Этой формулой можно пользоваться для определения стохастических характеристик конкретного планового периода, когда известны номенклатура запускаемой в производство продукции и перечень работ, которые должны быть выполнены в данном плановом периоде, а также их стохастические характеристики, которые определяются опытным путём. На практике перечисленным требованиям удовлетворяют только некоторые виды массового производства, обладающие высокой статистической устойчивостью характеристик.
Вероятность выполнения одной отдельно взятой операции зависит не только от внешних факторов, но также от конкретного характера выполняемой работы и от вида сборочной единицы.
Для определения параметров приведённой формулы даже при относительно небольшом наборе сборочных единиц, при малых изменениях номенклатуры выпускаемой продукции требуется значительный объём экспериментальных данных, что вызывает существенные материальные и организационные затраты и делает данный способ определения вероятности бесперебойного изготовления продукции малоприменимым.
Подвергнем полученную модель исследованию на предмет возможности её упрощения. Исходной величиной анализа является вероятность бессбойного выполнения одной операции технологического процесса изготовления продукции. В реальных производственных условиях вероятности выполнения операций каждого вида различны. Для конкретного технологического процесса эта вероятность зависит:
От вида выполняемой операции;
От конкретной сборочной единицы;
От изготавливаемой параллельно продукции;
От внешних факторов.
Проведём анализ влияния колебаний величины вероятности выполнения одной операции на укрупнённые характеристики производственного процесса изготовления продукции (объём товарного выпуска, объём незавершённого производства и т.п.), определяемые с использованием данной модели. Целью исследования является анализ возможности замены в модели различных вероятностей выполнения одной операции средним значением.
Совместное влияние всех перечисленных факторов учитывается при вычислении средней геометрической вероятности выполнения одной операции усреднённого технологического процесса. Анализ современного производства показывает, что она колеблется незначительно: практически в пределах 0,9 - 1,0.
Наглядной иллюстрацией того, насколько низкой вероятности выполнения одной опе-
рации соответствует значение 0,9, является следующий абстрактный пример. Предположим, что нужно изготовить десять деталей. Технологические процессы изготовления каждой из них содержат по десять операций. Вероятность выполнения каждой операции равна 0,9. Найдём вероятности отставания от графика различного количества технологических процессов.
Случайное событие, заключающееся в том, что конкретный технологический процесс изготовления сборочной единицы отстанет от графика, соответствует недовыполнению в этом процессе хотя бы одной операции. Оно противоположно событию: выполнению всех операций без сбоя. Его вероятность равна 1 - 0,910 = 0,65. Поскольку отставания от графика являются независимыми событиями, для определения вероятности отставания от графика различного количества технологических процессов можно воспользоваться распределением вероятностей Бернулли. Результаты вычислений приведены в таблице 1.
Таблица 1
Расчет вероятностей отставания от графика технологических процессов
к С^о0.35к0.651О-к Сумма
Из таблицы видно, что с вероятностью 0,92 от графика отстанут пять технологических процессов, то есть половина. Математическое ожидание количества отставших от графика технологических процессов будет равняться 6,5. Это значит, что в среднем от графика будут отставать 6,5 сборочных единиц из 10. То есть в среднем будут изготавливаться без сбоев от 3 до 4 детали. Автору неизвестны примеры такого низкого уровня организации труда в реальном производстве. Рассмотренный пример наглядно показывает, что накладываемое ограничение на величину вероятности выполнения без сбоев одной операции не противоречит практике. Всем перечисленным требованиям удовлетворяют производственные процессы механосборочных цехов машиностроительного производства.
Таким образом, для определения стохастических характеристик производственных процессов предлагается построить распределение вероятностей пооперационного выполнения одного технологического процесса, которое выражает вероятность выполнения последовательности технологических операций изготовления сборочной единицы через среднюю геометрическую вероятность выполнения одной операции. Вероятность выполнения К операций в этом случае будет равна произведению вероятностей выполнения каждой операции, умноженному на вероятность невыполнения остальной части технологического процесса, которая совпадает с вероятностью невыполнения (К + Т)-ой операции. Этот факт объясняется тем, что если не выполнится какая-либо операция, то следующие за ней выполниться не могут. Последняя запись отличается от остальных, так как выражает вероятность полного прохождения без сбоев всего технологического процесса. Вероятность выполнения К первых операций технологического процесса однозначно связана с вероятностью невыполнения оставшихся операций. Таким образом, распределение вероятностей имеет следующий вид:
РЙ=0)=р°(1-р),
Р(§=1) = р1(1-р), (2)
Р(^=1) = р1(1-р),
Р(^=и-1) = рп"1(1 - р), Р(£=п) = рп,
где: ^ - случайная величина, количество выполнившихся операций;
р - средняя геометрическая вероятность выполнения одной операции, п - количество операций в технологическом процессе.
Справедливость применения полученного, однопараметрического распределения вероятностей интуитивно видна из следующих рассуждений. Предположим, что мы вычислили среднее геометрическое значение вероятности выполнения одной 1 операции по выборке, состоящей из п элементов, где п достаточно велико.
р = УЩТ7Р7= тл|п]т=1р!), (3)
где: Iу - количество операций, имеющих одинаковую вероятность выполнения; ] - индекс группы операций, имеющих одинаковую вероятность выполнения; т - количество групп, состоящих из операций, имеющих одинаковую вероятность выполнения;
^ = - - относительная частота появления операций с вероятностью выполнения р^.
По закону больших чисел, при неограниченном количестве операций относительная частота появления в последовательности операций с определёнными стохастическими характеристиками стремится по вероятности к вероятности этого события. Откуда следует, что
для двух достаточно больших выборок = , значит:
где: т1, т2 - количество групп в первой и второй выборках, соответственно;
1*, I2 - количество элементов в группе первой и второй выборок, соответственно.
Отсюда видно, что если параметр рассчитан для большого количества испытаний, то он будет близок к параметру Р, рассчитанному по данной достаточно большой выборке.
Следует обратить внимание на различную близость к истинному значению вероятностей выполнения различного количества операций технологического процесса. Во всех элементах распределения, кроме последнего, присутствует множитель (I - Р). Поскольку величина параметра Р находится в промежутке 0,9 - 1,0, множитель (I - Р) колеблется в пределах 0 - 0,1. Этот множитель соответствует множителю (I - р;) в исходной модели. Опыт показывает, что это соответствие для конкретной вероятности может вызвать ошибку до 300%. Однако на практике обычно интересуются не вероятностями выполнения какого-либо количества операций, а вероятностью полного выполнения без сбоев технологического процесса. Эта вероятность не содержит множитель (I - Р), и, следовательно, её отклонение от действительного значения невелико (практически не более 3%). Для экономических задач это довольно высокая точность.
Построенное таким образом распределение вероятностей случайной величины является стохастической динамической моделью процесса изготовления сборочной единицы. Время участвует в ней неявно, как длительность одной операции. Модель позволяет определить вероятность того, что через некоторый промежуток времени (соответствующее количество операций) производственный процесс изготовления сборочной единицы не прервётся. Для механосборочных цехов машиностроительного производства среднее количество операций одного технологического процесса достаточно велико (15 - 80). Если рассматривать это число как базовое и считать, что в среднем при изготовлении одной сборочной единицы используется небольшой набор укрупнённых типов работ (токарные, слесарные, фрезерные и т.п.),
то полученное распределение можно с успехом применять для оценки влияния стохастических возмущений на ход производственного процесса.
Автором проводился имитационный эксперимент, построенный по этому принципу. Для генерации последовательности псевдослучайных величин, равномерно распределённых на отрезке 0,9 - 1,0, применялся датчик псевдослучайных чисел, описанный в работе . Программное обеспечение эксперимента написано на алгоритмическом языке КОБОЛ.
В эксперименте формируются произведения сгенерированных случайных величин, имитирующие реальные вероятности полного выполнения конкретного технологического процесса. Они сравниваются с вероятностью выполнения технологического процесса, полученной при использовании среднего геометрического значения, которое вычислялось для некоторой последовательности случайных чисел того же распределения. Среднее геометрическое значение возводится в степень, равную количеству множителей в произведении. Между двумя этими результатами вычисляется относительная разность в процентах. Эксперимент повторяется для различного количества множителей в произведениях и количества чисел, для которых вычисляется среднее геометрическое значение. Фрагмент результатов эксперимента приведен в таблице 2.
Таблица 2
Результаты имитационного эксперимента:
п - степень среднего геометрического значения; к - степень произведения
п к Произведение Отклонение к Произведение Отклонение к Произведение Отклонение
10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%
10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%
10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%
10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%
10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%
10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%
13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%
13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%
13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%
13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%
13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%
16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%
16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%
16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%
16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%
16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%
16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%
19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%
19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%
19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%
19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%
19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%
19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%
22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%
22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%
22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%
22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%
22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%
22 100 0,0048 1%
25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%
25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%
25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%
25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%
25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%
28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%
28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%
28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%
28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%
28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%
28 94 0,0075 100 0,0048 5%
31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%
31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%
31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%
31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%
31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%
При постановке данного имитационного эксперимента преследовалась цель исследовать возможность получения при помощи распределения вероятностей (2) одну из укрупнённых статистических характеристик производственного процесса - вероятность выполнения без сбоев одного технологического процесса изготовления сборочной единицы, состоящего из К операций. Для конкретного технологического процесса эта вероятность равна произведению вероятностей выполнения всех его операций. Как показывает имитационный эксперимент, её относительные отклонения от вероятности, полученной с использованием разработанной вероятностной модели, не превышают 9%.
Поскольку в имитационном эксперименте использовано более неудобное, чем реальное, распределение вероятностей, то практические расхождения будут ещё меньше. Отклонения наблюдаются как в сторону уменьшения, так и в сторону превышения значения, полученного исходя из усредненных характеристик. Этот факт наводит на мысль, что если рассматривать отклонение вероятности бессбойного выполнения не отдельного технологического процесса, а нескольких, то оно будет значительно меньше. Очевидно, что оно будет тем меньше, чем больше технологических процессов будут рассматриваться. Таким образом, имитационный эксперимент показывает хорошее согласование вероятности выполнения без сбоев технологического процесса изготовления продукции с вероятностью, получаемой при использовании однопараметрической математической модели.
Кроме того, имитационные эксперименты проводились:
Для исследования статистической сходимости оценки параметра распределения вероятностей;
Для исследования статистической устойчивости математического ожидания числа выполнившихся без сбоев операций;
Для анализа методик определения длительности минимального планового периода и оценки рассогласования плановых и реальных показателей производственного процесса, при несовпадении во времени планового и производственного периодов.
Эксперименты показали хорошее соответствие теоретических данных, получаемых на основе применения методик, и эмпирических данных, получаемых с помощью имитации на
Серия «Экономика и управление»
ЭВМ реальных производственных процессов.
На основе применения построенной математической модели автором разработаны три конкретных методики повышения эффективности оперативного управления. Для их апробации проводились отдельные имитационные эксперименты.
1. Методика определения рационального объёма производственного задания на плановый период.
2. Методика определения наиболее эффективной длительности оперативного планового периода.
3. Оценка рассогласования при несовпадении во времени планового и производственного периодов.
Литература
1. Мордасов Ю.П. Определение длительности минимального оперативного планового периода в условиях действия случайных возмущений / Экономико-математическое и имитационное моделирование с применением ЭВМ. - М: МИУ им. С. Орджоникидзе, 1984.
2. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. -М: Мир, 1975.
Переход от концентрации к диверсификации - эффективный путь развития экономики малого и среднего бизнеса
проф. Козленко Н. Н. Университет машиностроения
Аннотация. В данной статье рассмотрена проблема выбора наиболее эффективного развития российских предприятий малого и среднего бизнеса с помощью перехода от стратегии концентрации к стратегии диверсификации. Рассмотрены вопросы целесообразности диверсификации, ее преимущества, критерии выбора пути диверсификации, приведена классификация стратегий диверсификации.
Ключевые слова: предприятия малого и среднего бизнеса; диверсификация; стратегическое соответствие; конкурентные преимущества.
Активное изменение параметров макросреды (изменение конъюнктуры рынка, появление новых конкурентов в смежных отраслях, рост уровня конкуренции вообще) зачастую приводит к невыполнению намеченных стратегических планов предприятий малого и среднего бизнеса, потерям финансово-экономической устойчивости предприятий из-за значительного разрыва между объективными условиями деятельности малых предприятий и уровнем технологии управления ими.
Основными условиями экономической стабильности и возможности сохранения конкурентных преимуществ является способность системы управления своевременно реагировать и изменять внутренние производственные процессы (менять ассортимент с учетом диверсификации, перестраивать производственно-технологические процессы, менять структуру организации, использовать инновационные инструменты маркетинга и менеджмента).
Исследование практики российских предприятий малого и среднего бизнеса производственного типа и сервисного обслуживания позволило выявить следующие особенности и базовые причинно-следственные связи, касающиеся современной тенденции перехода малых предприятий от концентрации к диверсификации.
Большинство компаний малого и среднего бизнеса начинают свою деятельность с небольших предприятий с одним видом бизнеса, обслуживающих местные или региональные рынки. В начале своей деятельности номенклатура продукции такой компании весьма ограничена, капитальная база ее слаба, а конкурентные позиции уязвимы. Обычно в стратегии таких компаний главное внимание уделяется росту объема продаж и доле рынка, а также
